Sätze und Aufgaben über Markoffsche Prozesse

Ergebnisse und Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie finden immer sHirker Anwendung in Naturwissenschaft und Technik; auch dringen sie immer tiefer in verschiedene Gebiete der Mathematik selbst ein. Sowohl fUr Mathematiker verschiedener Fachgebiete als auch fUr Physiker und Ingenieure ist es niitzlich, diese Methoden zu beherrschen. Indessen konnen elementare Lehrbiicher nur eine be grenzte V orstellung von der gegenwartigen Entwicklung dieses Ge bietes vermitteln; Monographien jedoch, die neuere Richtungen behandeln, sind gewohnlich fUr Spezialisten geschrieben und benut zen einen umfangreichen mengentheoretischen und analytischen Apparat. Urn sich neue mathematische Ideen anzueignen, ist es notwendig, ihre Fruchtbarkeit zu spiiren und zu sehen, wie sie arbeiten. Dazu ist es besser, nicht mit allgemeinen Satzen, sondern mit konkreten Problemen zu beginnen. Die Probleme miissen sich auf natiirliche Weise ergeben; der jeweils zu Grunde liegende Sachverhalt solI ty pisch sein, er darf jedoch nicht durch unwesentliche technische Schwierigkeiten, die sich bei einer prazisen systematischen Darstel lung ergeben, kompliziert werden. Dieses Buch mochte den Leser gerade auf einem solchen Weg in neuere Entwicklungen der Theorie der Markoffschen Prozesse ein fUhren.

Inhalt
I Rekurrenzkriterien.- § 1. Die symmetrische Irrfahrt.- § 2. Die Übergangsfunktion.- §3. Das Verhalten der Trajektorien für n??.- § 4. Harmonische Funktionen.- §5. Das Potential.- § 6. Exzessive Funktionen.- §7. Die Kapazität.- § 8. Rekurrenzkriterien.- § 9. Die Rekurrenz von Teilmengen einer Koordinatenachse.- Aufgaben.- II Wahrscheinlichkeitstheoretische Lösung einiger Differentialgleichungen.- § 1. Die Definition des Wienersehen Prozesses.- § 2. Die Verteilung im Augenblick des Austritts aus einem Kreis; die mittlere Austrittszeit.- § 3. Die Markoffsche und die starke Markoffsche Eigenschaft.- § 4. Die Harmonizität der Austrittswahrscheinlichkeit.- § 5. Reguläre und irreguläre Randpunkte.- § 6. Das Null-Eins-Gesetz. Ein hinreichendes Kriterium für Regularität.- § 7. Das Dirichletsche Problem.- § 8. Wahrscheinlichkeitstheoretische Lösung der Poisson-schen Differentialgleichung.- § 9. Infinitesimaler und charakteristischer Operator.- Aufgaben.- III Das Problem des optimalen Stoppens.- § 1. Das Problem der besten Wahl.- § 2. Das Problem des optimalen Stoppens einer Markoff-schen Kette.- § 3. Exzessive Funktionen.- § 4. Der Wert des Spiels.- § 5. Die optimale Strategie.- § 6. Anwendung auf die Irrfahrt mit Absorption und auf das Problem der besten Wahl.- § 7. Das optimale Stoppen des Wienerschen Prozesses.- § 8. Beweis einer fundamentalen Eigenschaft konvexer Funktionen.- Aufgaben.- IV Randbedingungen.- § 1. Einführung.- § 2. Der Geburts-und Todesprozeß.- § 3. Natürliche Skala und Austrittswahrscheinlichkeit.- § 4. Abstoßende und anziehende Ränder.- § 5. Die Charakteristik, die mittlere Austrittszeit und das Geschwindigkeitsmaß.- § 6. Erreichbare und unerreichbare Ränder.- § 7. Fortsetzungen des Geburts- undTodesprozesses. Formulierung des Problems.- § 8. Sprungmaß und Reflexionskoeffizient.- § 9. Der Absorptionskoeffizient. Nach innen passierbare Ränder.- § 10. Randbedingungen.- § 11. Der Eindeutigkeitssatz.- Aufgaben.- § 2. Einige Eigenschaften konvexer Funktionen.- Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.

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