Das Geheimnis der transzendenten Zahlen

Was ist Mathematik? Was macht sie so spannend? Und wie forschen Mathematiker eigentlich? Das Geheimnis der transzendenten Zahlen ist eine Einführung in die Mathematik, bei der diese Fragen im Zentrum stehen. Sie brauchen dazu keine Vorkenntnisse. Aufbauend auf den natürlichen Zahlen 0,1,2,3,... beginnt eine Reise durch verschiedene Gebiete dieser lebendigen Wissenschaft. Ziel der Reise sind die großen Entdeckungen, mit denen Jahrtausende alte Rätsel aus der Antike gelöst wurden. Den roten Faden bildet die berühmte Frage nach der Quadratur des Kreises, die eng mit transzendenten Zahlen verbunden ist. Das Buch zeigt, wie Mathematiker mit Neugier forschen, immer neue Fragen stellen und dabei überraschende Zusammenhänge finden. Es richtet sich an Studierende, Lehrer, Schüler und Laien, die auch auf diesen Pfaden wandeln wollen. Stimme zum Buch: "Fridtjof Toenniessen führt den Leser mit seinem klaren, einfühlsamen und auch kurzweiligen Stil auf einen Weg, der von der Schulmathematik über Grundbegriffe der Hochschulmathematik bis hin zu ausgewählten Höhepunkten der modernen Zahlentheorie führt und leistet damit einen wichtigen Beitrag, um den Übergang von der Schule zur Hochschule zu erleichtern. Dieses Buch lebt von der Faszination der Welt der Zahlen und der Begeisterung des Autors für dieses Gebiet. Besonders gut finde ich, dass auch Beweistechniken und die Methode der Abstraktion, die die Mathematik auszeichnen, nicht verborgen werden, sondern - im Gegenteil - in den Blickpunkt rücken." Prof. Dr. Stefan Müller-Stach, Universität Mainz

Eine Entdeckungsreise durch die Mathematik von den natürlichen Zahlen bis zu einem Fields-Medaillen gekrönten Ergebnis Erfahren Sie an vielen spannenden Themen, wie Mathematik funktioniert, und die einzelnen Disziplinen zusammenhängen Reich und zweifarbig illustriert Includes supplementary material: sn.pub/extras

Autorentext
Dr. Fridtjof Toenniessen promovierte in München über komplexe Analysis und algebraische Geometrie. Er ist Professor für Mathematik und Informatik an der Hochschule der Medien in Stuttgart.

Zusammenfassung
DasGeheimnisder transzendenten Zahlen zu lüften unternimmt der Autor Fridtjof Toenniessen in seinem Buch. Mit anderen Worten: Er erklärt, was es mit der Schwierigkeit der Quadratur des Kreises auf sich hat. Bekanntlich versteht man unter dem Problem der Quadratur des Kreises das schon im Altertum von gr- chischen Mathematikern aufgestellte Problem, aus einem gegebenen Kreis nur unter Zuhilfenahme von Zirkel und Lineal ein Quadrat zu konstruieren, das d- selben Flächeninhalt wie der Kreis hat. Dies war über 2000 Jahre lang ein o?enes Problem, bis Ferdinand Lindemann 1882 die Unmöglichkeit einer solchen K- struktion bewies. Was hat die Quadratur des Kreises mit transzendenten Zahlen zu tun? Die Verb- dung wird hergestellt durch die Kreiszahl?=3,14159265. . . , welche die Fläche eines Kreises mit Radius 1 darstellt (und gleichzeitig auch den halben Umfang dieses Kreises). Wäre diese Zahl rational, d. h. der Quotient zweier ganzer Zahlen, so wäre es ein leichtes, eine Konstruktion der Quadratur des Kreises durchzuf- ren. Die Zahl? ist aber nicht rational, d. h. irrational. Dies ist schon schwierig genug zu beweisen (siehe Kap. 16 dieses Buches), aber reicht noch nicht aus, die ? Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises zu zeigen. So ist z. B. 2, die Quadr- wurzel aus 2, ebenfalls irrational (was einfach zu beweisen ist), trotzdem lässt sich ? 2 als Länge der Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge 1 leicht konstruieren.

Inhalt
Vorgeschichte.- Die natürlichen Zahlen.- Elemente und Mengen.- Die ganzen Zahlen.- Die rationalen Zahlen.- Die reellen Zahlen.- Die komplexen Zahlen.- Elemente der linearen Algebra.- Funktionen und Stetigkeit.- Elemente der klassischen Algebra.- Die ersten transzendenten Zahlen.- Die Exponentialfunktion im Komplexen.- Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.- Differenzialrechnung.- Integralrechnung.- Erste Erkenntnisse über e und ?.- Elemente der Analysis im 18. Jahrhundert.- Elemente der Funktionentheorie.- Die Transzendenz von e und ?.- Weitere Ergebnisse zu transzendenten Zahlen.

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