Kategorien I

Dieses Buch entstand aus Aufzeichnungen, die ich fUr die Horer einer Vorlesung im Jahre 1967/68 in Kiel angefertigt hatte. Angesichts der rasch wachsenden Anwendung der kategoriellen Sprache setzt es sich das Ziel, in den zentralen Teil der Theorie einzufUhren und dem weiter Interessierten Zugang zur Literatur zu verschaffen. An Vorkenntnissen sind in der Sache nur die einfachsten Grund begriffe der Mengenlehre und der Algebra erforderlich. Moduln treten zwar von Anfang an in den Beispielen auf, sie werden aber in 15.1 de finiert. Ein Teil der Beispiele entstammt der Topologie. Selbstverstand lich wird das Verstiindnis der Begriffsbildungen wesentlich erleichtert, wenn man mit den Beispielen aus Algebra oder Topologie vertraut ist. 1m Mittelpunkt steht der Begriff des darstellbaren Funktors mit seinen Abwandlungen: Limites und adjungierte Funktorpaare. Es handelt sich urn die Charakterisierung spezieller Objekte durch uni verse lIe Abbildungseigenschaften, die fUr SpezialfiilIe schon lange und im Werk von Bourbaki, bei anderer Sprache, systematisch benutzt wird. Das Yoneda-Lemma wird moglichst friih bereitgestellt. Dagegen wird die Behandlung adjungierter Funktorpaare aufgeschoben, bis sie zu sammenhiingend moglich ist und auch die Kansche Konstruktion so fort angeschlossen werden kann. Filtrierende Coli mites werden gebiih rend beriicksichtigt. Additive Kategorien und Funktorkategorien sind von Anfang an in die Betrachtung einbezogen. Dabei wird die benutzte Mengenlehre dort referiert, wo sich ihr Gebrauch aufdriingt. Nach dem gegenwiirtigen Stand scheinen Universa am handlichsten, und ich ver traue darauf, daB bei einer moglichen Revision der Grundlagen die Substanz der Theorie erhalten bleibt.

Inhalt
1. Kategorien.- 1.1 Definition für Kategorien.- 1.2 Beispiele.- 1.3 Isomorphismen.- 1.4 Weitere Beispiele.- 1.5 Additive Kategorien.- 1.6 Unterkategorien.- 2. Funktoren.- 2.1 Kovariante Funktoren.- 2.2 Standardbeispiele.- 2.3 Kontravariante Funktoren.- 2.4 Duale Kategorien.- 2.5 Bifunktoren.- 2.6 Natürliche Transformationen.- 3. Kategorien von Kategorien und von Funktoren.- 3.1 Vorbemerkungen.- 3.2 Universen.- 3.3 Vereinbarungen.- 3.4 Funktorkategorien.- 3.5 Die Kategorie der kleinen Kategorien.- 3.6 Große Kategorien.- 3.7 Der Wertfunktor.- 3.8 Der additive Fall.- 4. Darstellbare Funktoren.- 4.1 Einbettungen.- 4.2 Yoneda-Lemma.- 4.3 Der additive Fall.- 4.4 Darstellbare Funktoren.- 4.5 Partiell darstellbare Bifunktoren.- 5. Einige spezielle Objekte und Morphismen.- 5.1 Monomorphismen.- 5.2 Retraktionen und Coretraktionen.- 5.3 Bimorphismen.- 5.4 Terminale und initiale Objekte.- 5.5 Nullobjekte.- 6. Diagramme.- 6.1 Diagrammschemata und Diagramme.- 6.2 Diagramme mit Kommutativitätsbedingungen.- 6.3 Diagramme als Funktordaten.- 6.4 Quotienten von Kategorien.- 6.5 Klassen von Mono- bzw. Epimorphismen.- 7. Limites.- 7.1 Definition für Limites.- 7.2 Differenzkerne.- 7.3 Produkte.- 7.4 Vollständige Kategorien.- 7.5 Limites in Funktorkategorien.- 7.6 Doppellimites.- 7.7 Kriterien für Limites.- 7.8 Pullbacks.- 8. Colimites.- 8.1 Definition für Colimites.- 8.2 Differenzcokerne.- 8.3 Coprodukte.- 8.4 Covollständige Kategorien.- 8.5 Colimites in Funktorkategorien.- 8.6 Doppelte Colimites.- 8.7 Kriterien für Colimites.- 8.8 Pushouts.- 9. Filtrierende Colimites.- 9.1 Zur Berechnung von Limites und Colimites.- 9.2 Filtrierende Kategorien.- 9.3 Filtrierende Colimites.- 9.4 Vertauschungssätze.- 10. Mengenwertige Funktoren.- 10.1 Erbschaft der Zielkategorie.- 10.2 DieYoneda-Einbettung.- 10.3 Der allgemeine Darstellungssatz.- 10.4 Projektive und injektive Objekte.- 10.5 Generatoren und Cogeneratoren.- 10.6 Lokal kleine Kategorien.- 10.7 Elementarer Beweis des Darstellungssatzes.- 11. Objekte mit algebraischer Struktur.- 11.1 Algebraische Strukturen.- 11.2 Operation eines Objektes auf einem anderen.- 11.3 Homomorphismen.- 11.4 Reduktion auf Ens.- 11.5 Limites und filtrierende Colimites.- 11.6 Homomorph verträgliche Strukturen.- 12. Abelsche Kategorien.- 12.1 Überblick.- 12.2 Semiadditive Struktur.- 12.3 Kerne und Cokerne.- 12.4 Zerlegung von Morphismen.- 12.5 Die additive Struktur.- 12.6 Idempotente.- 13. Exakte Folgen.- 13.1 Exakte Folgen in exakten Kategorien.- 13.2 Kurze exakte Folgen.- 13.3 Exakte und treue Funktoren.- 13.4 Exakte Quadrate.- 13.5 Einige Diagrammlemmata.- 14. Colimites von Monomorphismen.- 14.1 Vorgeordnete Klassen.- 14.2 Vereinigungen von Monomorphismen.- 14.3 Urbilder von Monomorphismen.- 14.4 Bilder von Monomorphismen.- 14.5 Konstruktionen für Colimites.- 14.6 Grothendieck-Kategorien.- 15. Injektive Hüllen.- 15-1 Moduln über additiven Kategorien.- 15.2 Wesentliche Erweiterungen.- 15.3 Existenz von Injektiven.- 15.4 Ein Einbettungssatz.- Literatur.- Sachverzeichnis zu Teil I.

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