Die euklidische Ebene und ihre Verwandten

Your aid I want Nine trees to plant In rows just half a score, And let there be In each row three. Solve this. I ask no more. ( J. J ackson, Rational Amusements for Winter Evenings. London 1821) Beim Beweise vieler Sätze der Elementargeometrie nutzt man nur sehr unvollkom men aus, daß es der Körper der reellen Zahlen ist, welcher der Geometrie zugrunde liegt. Mal sind es nur die Körpereigenschaften, die man benötigt, mal daß die mul tiplikative Gruppe abelsch ist. Manchmal braucht man auch nur, daß die Charak teristik nicht zwei ist, ein andermal, daß R eine Anordnung besitzt. Gelegentlich genügt es sogar zu wissen, daß die euklidische Ebene eine affine Ebene ist. Diese wenigen Andeutungen machen schon ein wenig deutlich, worum es bei un serem Thema gehen wird: Wir werden uns einerseits erheblich einschränken, indem wir hier unter Elementargeometrie nur die ebene euklidische Geometrie verstehen, also auf alles Räumliche verzichten, andererseits eine wesentliche Erweiterung des Themas Elementargeometrie vornehmen, indem wir zumindest zu Beginn unserer Untersuchungen auch beliebige projektive Ebenen in sie einbeziehen, da wir uns dieses Hilfsmittels nicht werden begeben wollen. Wir werden jedoch nicht eine The orie der projektiven Ebenen entwickeln, wie sie etwa in den im Literaturverzeichnis aufgeführten Büchern von P. Dembowski, Hughes und Piper, Pickert oder auch von mir dargestellt wird.

Klappentext
Unter Verzicht auf alles Räumliche wird hier die ebene euklidische Geometrie aufgebaut, indem mit der Untersuchung von beliebigen projektiven und affinen Ebenen begonnen, dann aber sehr rasch zu Ebenen übergegangen wird, die von kommutativen Körpern koordinatisiert werden. In affinen Ebenen wird die Mittelpunktsrelation studiert, die erstaunliche Konsequenzen hat, sowie Orthogonalitätsrelationen und das Winkelhalbieren. Ist das Winkelhalbieren immer möglich, so trägt der Koordinatenkörper eineAnordnung, so dass man schon sehr nahe bei der euklidischen Ebene ist. Kegelschnitte werden ebenfalls gründlich untersucht. Sind Gerade durch innere Punkte stets Sekanten, so impliziert dies ebenfalls die Anordenbarkeit des Koordinatenkörpers und noch mehr, so dass auch dieses uns in die Nähe der Ebene über den reellen Zahlen bringt. Zum Schluss, im siebten Kapitel, wird dann gezeigt, welche geometrischen Eigenschaften dazu dienen können, die reelle Ebene unter allen übrigen affinen Ebenen auszuzeichnen.

Inhalt
I. Projektive und Affine Ebenen.- 1. Definitionen und erste Resultate.- 2. Inzidenztreue Abbildungen.- 3. Affine Ebenen.- 4. Zentralkollineationen.- 5. Zentralkollineationen und der Satz von Desargues.- II. Desarguessche Ebenen.- 1. Translationsebenen.- 2. Der Kern einer Translationsebene.- 3. Die Ebenen II (V, K).- 4. Die zu II (V, K) duale Ebene.- 5. Die Struktursätze für Desarguessche Ebenen.- III. Pappossche Ebenen.- 1. Der Satz von Hessenberg.- 2. Die Gruppe der projektiven Kollineationen.- 3. Die Gruppe der Projektivitäten einer Geraden auf sich.- 4. Das Doppel Verhältnis.- 5. Anhang.- IV. Polaritäten und Kegelschnitte.- 1. Polaritäten endlicher projektiver Ebenen.- 2. Darstellung von Polaritäten.- 3. Kegelschnitte.- 4. Die Steinersche Erzeugung der Kegelschnitte.- 5. Segres Satz über Ovale.- 6. Die Kollineationsgruppe eines Kegelschnitts.- V. Teilverhältnisse und Orthogonalität in affinen Ebenen.- 1. Teilverhältnisse.- 2. Das Mittendreieck und die Mittellinien eines Dreiecks.- 3. Orthogonalitätsrelationen papposscher Ebenen.- 4. Die Gruppe einer thaletischen Orthogonalitätsrelation.- 5. Orthogonalitätsrelationen, für die der Höhenschnittpunktsatz gilt.- 6. Das Winkelhalbieren.- VI. Metrische Eigenschaften der Kegelschnitte.- 1. Projektive Ebenen über euklidischen Körpern.- 2. Kegelschnitte in affinen Ebenen.- 3. Kreise.- 4. Die Achsen der Kegelschnitte.- 5. Die Brennpunkte der Kegelschnitte.- 6. Algebraische Beschreibung von Ellipse, Parabel und Hyperbel.- VII. Die reelle Ebene.- 1. Zwischenbeziehungen und Anordnungen.- 2. Eine Charakterisierung der Anordnung eines Körpers.- 3. Zwischenbeziehungen in desarguesschen affinen Ebenen.- 4. Eine Kennzeichnung der reellen affinen Ebene.

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