Topologie und Analysis

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Klappentext
"V. i. e. Ell6a. h1w. ng deA p. ltll. k:tU. ehe. n Le. be. M £. e. M. t Mnge. ge. n je. de. n, de. ll au6 I. l. i. eh a. eh;thabe. n w. U. R. , von unell Sede. d. i. e. Sehw-i. e. JL. i. gkede. n . i. n dell AM 6iihJumg deAl. > e. n, WM . i. hn 1. >0 k. tnde. llR. ueh. t diink. te. , ge. hoJL. tg ellke. nne. n; von unell a. nde. lln abell aueh de. n Punk. t deA ElllluehbMe. n, wOMn ma. n dUlleh g£. ueh6iilUll. i. ge. AMtlte. ngung a. Uell Kltii6te. , d. i. e. . i. n un!. > e. JLe. ll GewaU I. >. i. nd , ge. R. a. nge. n ka. nn, ll. i. eWgell ZIL beAUmme. n ILnd wedell Mna. 1L6 zUlliieke. n. " Vell Giillingell Na. tUll6oMehell Ge. Ollg FORSTER (11811 iibell den bll. i. ­ t. tI. lehe. n Entde. eke. ll Ja. meA COOK INHALTLICHE MOTIVATION. Intensivere Nutzung mathematischer Ideen, Methoden und Techniken in den Einzelwissenschaften und zur Losung praktischer Probleme erfordert yom Mathematiker neben groBerer auBermathematischer "Anwendungsbereit­ schaft" zugleich eine umfassendere innermathematische "Orientiertheit". In der Praxis kommt es haufig nicht so sehr darauf an, aus einer mathematischen Idee be­ sonders weitrei chende Kon. sequenzen zu zi ehen, sondern ei nen Gegenstands- oder Problembereich moglichst angemessen mit einer Vielfalt mathematischer Theorien versuchsweise zu Uberdecken.

Inhalt
I. Operatoren mit Index.- 1. Fredholmoperatoren. Hierarchie mathematischer Objekte. Begriff des Fredholmoperators.- 2. Algebraische Eigenschaften. Operatoren von endlichem Rang. Das Schlangenlemma:. Operatoren von endlichem Rang und die Fredholmsche Integralgleichung.- 3. Analytische Methoden. Kompakte Operatoren. Analytische Methoden. Der adjungierte Operator. Kompakte Operatoren. Die klassischen Integraloperatoren.- 4. Die Fredholmalternative. Das Rieszsche Lemma. Das Sturm-Liouvillesche Randwertproblem.- 5. Die Hauptsätze. Die Calkinalgebra. Störungstheorie. Homotopieinvarianz des Index.- 6. Familien von invertierbaren Operatoren. Satz von Kuiper. Homotopien von operatorwertigen Funktionen. Der Satz von Kuiper.- 7. Familien von Fredholmoperatoren. Indexbündel. Die Topologie von F. Die Konstruktion des Indexbündels. Der Satz von Atiyah-Jänich. Homotopie und unitäre Äquivalenz.- 8. Fourierreihen und -integrale (Zusammenstellung der Grundbegriffe). Fourierreihen. Fourierintegral. Höherdimensionale Fourierintegrale.- 9. Wiener-Hopf-Operatoren. Das Beispielreservoir für Fredholmoperatoren. Herkunft und prinzipielle Bedeutung der Wiener-Hopf-Operatoren. Die Kennlinie eines Wiener-Hopf-Operators. Wiener-Hopf-Operatoren und harmonische Analyse. Die diskrete Indexformel. Der Systemfall. Kontinuierliches Analogon.- II. Analysis auf Mannigfaltigkeiten.- 1. Partielle Differentialgleichungen. Lineare partielle Differentialgleichungen. Elliptische Differentialgleichungen. Wo kommen elliptische Differentialgleichungen vor. Randwertbedingungen. Hauptfragen der Analysis und das Indexproblem. Numerische Aspekte. Elementare Beispiele.- 2. Differential Operatoren über Mannigfaltigkeiten. Motivation. Ltifferenzierbare Mannigfaltigkeiten Grundbegriffe. Geometrie derC?-Abbildungen. Integration auf Mannigfaltigkeiten. Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten. Berandete Mannigfaltigkeiten.- 3. Pseudodifferentialoperatoren. Motivation. Kanonische Pseudodifferentialoperatoren. Pseudodifferentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten. Näherungsrechnung für Pseudodifferentialoperatoren.- 4. Sobolewräume (Steilkurs). Motivation. Definition. Die Hauptsätze über Sobolewräume. Fallstudien.- 5. Elliptische Operatoren über geschlossenen Mannigfaltigkeiten. Stetigkeit von Pseudodifferentialoperatoren. Elliptische Operatoren.- 6. Elliptische Randwertsysteme I (Differentialoperatoren). Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Systeme von Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Variable Koeffizienten.- 7. Elliptische Differential Operatoren 1. Ordnung mit Randbedingungen. Die topologische Bedeutung von Randwertbedingungen (Fallstudie). Verallgemeinerungen (heuristisch).- 8. Elliptische Randwertsysteme II (überblick). Das Poissonprinzip. Die Greensche Algebra. Der elliptische Fall.- III. Die Atiyah-Singer-Indexformel.- 1. Einführung in die algebraische Topologie (K-Theorie). Umlaufzahlen. Die Topologie der allgemeinen linearen Gruppe. Der Ring der Vektorraumbündel. K-Theorie mit kompaktem Träger. Beweis des Periodizitätssatzes von R. Bott.- 2. Die Indexformel im euklidischen Fall. Indexformel und Bottperiodizität. Das Differenzbündel eines elliptischen Operators. Die Indexformel.- 3. Die Indexformel für geschlossene Mannigfaltigkeiten. Die Indexformel. Vergleich der Beweise: Der Kobordismus-Beweis. Vergleich der Beweise: Der Einbettungsbeweis. Vergleich der Beweise: Der Wärmeleitungsbeweis.- 4. Anwendungen (Übersicht). Kohomologische Fassung der Indexformel. Der Systemfall (triviale Bündel). Beispielefür verschwindenden Index. Eulerzahl und Signatur. Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten. Abelsche Integrale und Riemannsche Flächen. Der Satz von Riemann-Roch-tiirzebruch. Der Index elliptischer Randwertprobleme. Reelle Operatoren. Die Lefschetzsche Fixpunktformel. Analysis auf symmetrischen Räumen. Weitere Anwendungen.- Anhang: Was sind Vektorraumbündel?.- Literatur.- Symbolverzeichnis.- Namenverzeichni.

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